<aside> 💡 Stochastik ist ein Teilgebiet der Mathematik und besteht aus den zwei Gebieten der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der mathematischen Statistik.

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→ Es geht um Ereignisse, die bei der Wiederholung bestimmter Vorgänge, nicht immer und zwangsläufig eintreten.

→ Es geht um zufällige Ergebnisse bei bestimmten Vorgängen

👏🏼Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Zufallsversuche und Ereignisse:

  1. Ein Zufallsversuch ist ein Vorgang, dessen Ergebnis nicht vorhersagbar ist, dessen Ausgang also zufällig ist. → Der Ausgang des Zufallsversuchs ist dann das Ergebnis.
    1. Beispiel: “Münzwurf”. → Wird eine Münze geworfen und es erscheint die Zahl, dann ist die Zahl das Ergebnis des Wurfes.
  2. Möglich ist aber auch statt Zahl, Kopf. Die Menge ALLER möglichen Ergebnisse, d.h. Zahl und Kopf, nennt man Ergebnisraum. Addiert man Ereignis und Gegenereignis erhält man ebenfalls den Ergebnisraum.
    1. Ω = {𝐾𝑜𝑝𝑓; 𝑍𝑎ℎ𝑙}
  3. Eine Menge ist eine Anzahl von Objekten (Elementen), die alle nach einer gemeinsamen Eigenschaft zusammengefasst sind.
  4. Ein Ereignis ist eine Teilmenge des Ergebnisraums und wird zuvor definiert, z.B.: eine ungerade Zahl. Ein Ereignis ist also eine Menge von Ergebnissen.
    1. Sicheres Ereignis: Ergebnis ist Ergebnisraum, bspw. der Ergebnisraum sind die Zahlen eins bis sechs des Würfels. Egal ob eine eins, zwei, drei, vier, fünf oder sechs gewürfelt wird, das Ergebnis entspricht dem Ergebnisraum und daher ist das Ergebnis sicher. Egal, was auf dem Würfel angezeigt wird, das Ergebnis gehört immer zu dem Ereignis. Das Ereignis ist also SICHER, weil das Ereignis mit dem Ergebnisraum übereinstimmt. Es gilt Ω = E.
  5. Elementarereignis: Hat ein Ereignis nur ein Element, dann nennt man es ein Elementarereignis oder atomares Ereignis.
  6. Das Komplement oder die Negation: Ist die Umkehrung des definierten Ereignis.

→ Beim Würfel gibt es sechs Möglichkeiten, der Ergebnisraum ist also daher die Menge Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Ein Ereignis, also eine Teilmenge des Ergebnisraumes könnte sein: Es fällt eine ungerade Zahl. Die Menge wäre dann: E = {1; 3; 5}. Eine Teilmenge ist also vollständig in der Gesamtmenge enthalten.

Vereinigung und Schnitt von Ereignissen:

  1. Logisches “ODER” als Vereinigungsmenge zweier Mengen (Ereignissen). Geschrieben wird das: 𝐸1 ∪ 𝐸2. Alle doppelten Zahlen werden in der Vereinigungsmenge nur einfach geschrieben!
  2. Beim logischen “UND” zwischen zwei Mengen, dann werden nur die Elemente gesucht, die gleichzeitig in beiden Mengen enthalten sind: Schnittmenge (𝐸1 ∩ 𝐸2) → Hier werden dann alle nicht doppelten Elemente ausgeschlossen.

Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit:

xyz

Summenregel:

Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit eines (zusammengesetzten) Ereignisses gleich der Summen der Wahrscheinlichkeiten aller der Pfade, die zu seinen zugehörigen Ergebnissen führen: